الرياضيات في حياتنا بمختلف الجوانب : 1. الرياضيات كعلم
عرف الرياضيات قديما بأنه " علم المقدار المتصل والمنفصل " أو هو علم " الكم" وعلى تلك كان ينظر إلى الحساب والجبر على أنهما يتناولان دراسة الأعداد والعمليات عليها ، وإلى الهندسة على أنها مختصة بدارسة النفط والخطوط والأسطح والأحجام والعلاقات بينها وهنا مما يدل على أنها جميعا تتعلق بالمقدار المتصل والمنفصل والكم المنفصل كما في الأعداد وهي موضع اهتمام الحساب أو كما في حروف الهجاء التي تستخدم الرموز في التعبير عن كم غير محدود وهو موضع اهتمام علم الجبر ، أما الكم المتصل فهو ما يتعلق بالمكان والزمان أو تتعلق بمعنى الحركة بأشكالها المختلفة وهو الأقلية ونظرية المجموعات المجردة وجبر المنطق أصبح من الواضح عدم وجود علاقة جوهرية بين الرياضيات والكم .
وعرف أيضا علم الرياضيات بأنه أحد المجالات المتميزة فهو علم تجريدي من خلق وإبداع العقل البشري تهم من ضمن ما تهم به الأفكار والطرائق وأنما التفكير.
2. الرياضيات كمادة دراسية :-
الرياضيات كعلم المجال معرفي ، له فلسفته وطبيعته الخاصة والرياضيات كمادة دراسية تقدم للطلاب في مستويات الدراسة المختلفة يمكن التمييز بينهما بصورة ملموسة عندما تقارن بين مناشط واهتمامات " الرياضي"
حيث يتبع أساليب بحثية معينه للتوصل إلى رياضيات جديدة ولاعادة تنظيم وبناء المعرفة الرياضية في مجال معين وابتكار رياضيات جديدة من جهة وبين مناشط واهتمامات معلم الرياضيات حيث يعلم رياضيات معينه لتلاميذ في مستوى تعليمي معين .
فالرياضيات كمادة دراسية هي تطويع قائم به الرياضيون التربويون للرياضيات كعلم لجعلها قابلة للاستيعاب والفهم من جانب التلاميذ في عمر زمني معين وبقدرات عقلية .
بمعنى آخر فالرياضيات كمادة دراسية تحتوي في جوهرها على المفاهيم الأساسية لعلم الرياضيات ولكن لتبسيطها حتى تلائم خصائص المتعلم الذي يمر بمرحلة معينه وتناسب خلفيته الرياضية حيث يكون المهم أن يكتسب المعلم كيفية إجراء العمليات الاستيعابية البسيطة التي يمكن بواسطتها اشتقاق بعض النتائج من معلومات رياضية متاحة لدية .
ويمكن تصنيف محتوى الرياضيات المدرسية إلى.
1- المفاهيم:-
تعد المفاهيم من اللبنات الأساسية في المعرفة الرياضية ويعرف المفهوم بأنه :-
تجريد الصفات الأساسية التي تعطي المصطلح ما معناه الرياضي .
وتوجد عدة تصنيفات للمفاهيم الرياضية إلا أننا سوف نأخذ بهذا التصنيف الذي يصنف المفاهيم إلى :-
أ- مفاهيم انتقالية مثل " العدد ، المحيط، الجمع ، ....الخ "
ب- مفاهيم أولية:-
ت- تتضمن المصطلحات غير المعرفة في نظام رياضي معين مثل " نقطة ، خط مستقيم ، شعاع ، قطعة مستقيمة ........"
ث- مفاهيم تتعلق بالتعريفات ( المثلث، الدائرة )
ج- مفاهيم تتعلق بعمليات ( الجمع والطرح والضرب والقسمة)
ح- مفاهيم تتعلق بخواص ( الإبدال والدمج والتوزيع والعنصر المحايد )
خ- مفاهيم تتعلق بعلاقات رياضية ( التساوي والتكافؤ أكبر من ، التناظر الأحادي )
د- مفاهيم تتعلق بالنظام الرياضي .
2- التعميمات:-
أ- الحقيقة الرياضية تعرف بأنها تقييم العلاقات يمكن استنتاجها عن طريق الإثبات والبرهنة أو التسلح بصحتها ومن الحقائق الرياضية
5+3= 8
7-3=4
6×9=54
72÷8=9
1- المبدأ الرياضي
2- القاعدة
3- العمليات والعلاقات
4- الفرض والنظريات
البرهان الرياضي
معنى البرهان: - هو نوع من المعالجة التي تهدف إلى الاقتناع بصحة قضية ما من خلال تقديم أدله تدعو إلى الاقتناع إلى حد التأكد من صحة ذلك.
تعريف آخر :- هو أية مناقشة أو تتقديم لشواهد تقنع شخصياً ما بقضية معينه.
البرهان الرياضي يكون صحيحا إذا وفقط إذا:-
أ- كانت الإستراتيجية المستخدمة تعتمد على توجيه منطقية.
ب- كانت العبارات المستخدمة كشواهد مقبولة بصحتها.
مثال واقعي :- البرهان على نظافة مدرسة معينه هو نظافة مبناها ، تلاميذها ، إدارتها ومعلميها.
3. المجموعات والعمليات عليها
4. التحويلات الهندسية :
هناك عدة أنواع للتحويلات الهندسية منها:-
الإنعكاس ، الانسحاب ،الدوران، التكبير.
أولا :- الإنعكاس :- لعلك تلاحظ صورة الأشجار بالانعكاس في محور حيث محور الإنعكاس هنا هو الخط الذي يحدد سطح الملامس للشاطئ .
الإنعكاس نوعان :- الإنعكاس في محور ل يعين لكل نقطة أ في مستوى الورقة صورة .
أ حيث : أأ ل ، أء = أء
خواص الانعكاس في محور:-
• الإنعكاس يحافظ على البيئة
• الإنعكاس يحافظ على الاستقامة
• الإنعكاس يحافظ على الأطوال
• الإنعكاس يحافظ على قياس الزوايا
• الإنعكاس يحافظ على التوازي.
الانعكاس في نقطة :- الانعكاس في نقطة مثل م يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة أ أم بحيث يكون أم = أم والنقطة الوحيدة التي تقترن بنفسها هي النقطة م التي تسمى مركز الانعكاس,
بالانعكاس في المحور الصادي :- صورة النقطة ( س ، ص ) هي النقطة ( - س ، ص )
بالانعكاس في المحور السيني : صورة النقطة ( س ، ص ) هي النقطة ( س ، - ص )
الانسحاب :- عملت أن الانعكاس يعين لكل نقطة أ في المستوى نقطة واحدة أ تسمى صورة أ بالانعكاس.
أما بالنسبة للانسحاب
يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة أ وذلك بإزاحة كل نقطة مساقة معينة في اتجاه معين واحد وتسمى هذه المسافة بمقدار الانسحاب ويسمى الاتجاه اتجاه الانسحاب.
مفاهيم رياضية.
الأشكال الهندسية الرباعية :- هي مساحات مغلقة تحدها أربعة أضلاع من الأشكال الرباعية.
المستطيل هو شكل هندسي رباعي .
1) اضلاعة المتقابلة متساوية ومتوازية إي إنها إذا أمدا على استقامتهما لا يلتقيان.
2) زواياه الأربع قائمة.
3) قطراه متساويان وغير متعامدين.
أ طول أو قاعدة ء
عرض أو ارتفاع
ب طول أو قاعدة ج
محيط المستطيل = 2× ( الطول + العرض )
مساحة المستطيل = الطول × العرض
المربع هو شكل هندسي رباعي
1) جميع أضلاعه متساوية
2) زواياه الأربع قائمة
3) قطراه متساويان ومتعامدان.
محيط المربع = 4 × طول الضلع للمربع.
السماحة = طول الضلع × نفسة
تطبيقات على محيط المربع ومساحة المربع
1- حديقة بيتكم مربعة الشكل طول ضلعها 45 متر فما هو محيطها؟
إذا كان المتر الواحد يكلف 5 ريالات عمانية في تنظيفها فكم يكلف تنظيف الحديقة كاملة؟
الحل :-
مكر معنا.
2- محيط طاولة مربعة الشكل 6سم ما هو طول ضلعها؟
الدائرة :- هي منحنى مغلق جميع نقاطة تكون على أبعاد متساوية من نقطة ثابتة تسمى مركز الدائرة.
مركز الدائرة هو النقطة الثابتة الواقعة في وسط الدائرة على أبعاد متساوية من جميع تقاطعاتها والمركز هو النقطة التي وضعتها على الفرجار .
محيط الدائرة = 2 ط نق.
مساحة الدائرة = ط نق2
وأخيرا وبرأيي لا نستطيع أبدا العيش بدون رياضيات فهي جزئ كبيـــــــــــــــر من حياتنا
وهناك العديد من المعلومات ونبدأ :
تواريخ مهمة في عالم الرياضيات : 3000 ق.م استخدم قدماء المصريين النظام العشري. وطوروا كذلك الهندسة وتقنيات مساحة الأ راضي.
370 ق.م عرف إيودكسس الكندوسي طريقة الاستنفاد، التي مهدت لحساب التكامل.
300 ق.م أنشأ إقليدس نظامًا هندسيًا مستخدمًا الاستنتاج المنطقي.
787م ظهرت الأرقام والصفر المرسوم على هيئة نقطة في مؤلفات عربية قبل أن تظهر في الكتب الهندية.
830م أطلق العرب على علم الجبر هذا الاسم لأول مرة.
835م استخدم الخوارزمي مصطلح الأصم لأول مرة للإشارة للعدد الذي لا جذر له.
888م وضع الرياضيون العرب أولى لبنات الهندسة التحليلية بالاستعانة بالهندسة في حل المعادلات الجبرية.
912م استعمل البتاني الجيب بدلا من وتر ضعف القوس في قياس الزوايا لأول مرة.
1029م استغل الرياضيون العرب الهندسة المستوية والمجسمة في بحوث الضوء لأول مرة في التاريخ.
1142مترجم أديلارد ـ من باث ـ من العربية الأجزاء الخمسة عشر من كتاب العناصر لأقليدس، ونتيجة لذلك أضحت أعمال أقليدس معروفة جيدًا في أوروبا.
منتصف القرن الثاني عشر الميلادي. أُدْخِلَ نظام الأعداد الهندية ـ العربية إلى أوروبا نتيجةً لترجمة كتاب الخوارزمي في الحساب.
1252م لفت نصير الدين الطوسي الانتباه ـ لأول مرة ـ لأخطاء أقليدس في المتوازيات.
1397م اخترع غياث الدين الكاشي الكسور العشرية.
1465م وضع القلصادي أبو الحسن القرشي لأول مرة رموزًا لعلم الجبر بدلاً عن الكلمات.
1514م استخدم عالم الرياضيات الهولندي فاندر هوكِي اشارتي الجمع (+) والطرح (-) لأول مرة في الصيغ الجبرية.
1533م أسس عالم الرياضيات الألماني ريجيومونتانوس، حساب المثلثات كفرع مستقل عن الفلك.
1542م ألف جيرولامو كاردانو أول كتاب في الرياضيات الحديثة.
1557م أدخل روبرت ركورد إشارة المساواة (=) في الرياضيات معتقدًا أنه لا يوجد شيء يمكن أن يكون أكثر مساواة من زوج من الخطوط المتوازية.
1614م نشر جون نابيير اكتشافه في اللوغاريتمات، التي تساعد في تبسيط الحسابات.
1637م نشر رِينيه ديكارت اكتشافه في الهندسة التحليلية، مقررًا أن الرياضيات هي النموذج الأمثل للتعليل.
منتصف العقد التاسع للقرن السابع عشرالميلادي. نشر كل من السير إسحق نيوتن وجوتفريد ولهلم ليبنتز بصورة مستقلة اكتشافاتهما في حساب التفاضل والتكامل.
1717م قام أبراهام شارب بحساب قيمة النسبة التقريبية حتى 72 منزلة عشرية.
1742م وضع كريستين جولدباخ ما عُرف بحدسية جولدباخ: وهو أنّ كلّ عدد زوجي هو مجموع عددين أوليين. ولا تزال هذه الجملة مفتوحة لعلماء الرياضيات لإثبات صحّتها أو خطئها.
1763م أدخل جسبارت مونيي الهندسة الوصفية وقد كان حتى عام 1795م يعمل في الاستخبارات العسكرية الفرنسية.
بداية القرن التاسع عشر الميلادي. عمل علماء الرياضيات كارل فريدريك جوس ويانوس بولْياي، نقولا لوباشيفسكي، وبشكل مستقل على تطوير هندسات لا إقليدية.
بداية العقد الثالث من القرن التاسع عشر. بدأ تشَارْلْز بَبَاج في تطوير الآلات الحاسبة.
1822م أدخل جين بابتست فورييهٌْ تحليل فورييه.
1829م أدخل إفاريست جالوا نظرية الزمر.
1854م نشر جورج بولي نظامه في المنطق الرمزي.
1881م أدخل جوشياه وِيلارد جبس تحليل المتجهات في ثلاثة أبعاد.
أواخر القرن التاسع عشر الميلادي. طور جورج كانتور نظرية المجموعات والنظرية الرياضية للمالانهاية.
1908م طور إرنست زيرميلو طريقة المسلمات لنظرية المجموعات مستخدمًا عبارتين غير معروفتين وسبع مسلمات.
1910-1913م نشر أَلفرد نورث وايتهيد وبرتراند رسِل كتابهما مبادئ الرياضيات وجادلا فيه أنّ كل الفرضيات الرياضية يمكن استنباطها من عدد قليل من المسلمات.
1912م بدأ ل. ي. ج. برلور الحركة الحدسية في الرياضيات باعتبار الأعداد الطبيعية الأساس في البنية الرياضية التي يمكن إدراكها حدسيًا.
1921م نشر إيمي نوذر طريقة المسلمات للجبر.
بداية الثلاثينيات من القرن العشرين الميلادي. أثبت كورت جودل أن أي نظام من المسلمات يحوي جملاً لا يمكن إثباتها.
1937م قدم أَلانْ تُورنْج وصفًا لــ " آلة تَورنج " وهي حاسوب آلي تخيلي يمكن أن يقوم بحل جميع المسائل ذات الصبغة الحسابية.
مع نهاية الخمسينيات وعام 1960م دَخَلت الرياضيات الحديثة إلى المدارس في عدة دول.
1974م طور روجر بنروز تبليطة مكونة من نوعين من المعينات غير متكررة الأنماط. واكتشف فيما بعد أن هذه التبليطات التي تدعي تبليطات بنروز تعكس بنية نوع جديد من المادة المتبلورة وشبه المتبلورة.
سبعينيات القرن العشرين ظهرت الحواسيب المبنية على أسس رياضية، واستخدمت في التجارة والصناعة والعلوم.
1980م بحث عدد من علماء الرياضيات المنحنيات الفراكتلية، وهي بنية يمكن استخدامها لتمثيل الظاهرة الهيولية.
وهذا طبعا دليل على أن طالما هنالك حياة وأنسان هنالك رياضيات وهذه علاقة برأيي أبدية
سوف نبدأ أولا بالتعريف عن نصير الدين الطوسي :
. نصير الدين الطوسي
672-597هـ/1274-1201م
أحد الأفذاذ القلائل الذين ظهروا في القرن السادس للهجرة، وأحد حكماء الإسلام المشار إليه بالبنان، وهو من الذين اشتهروا بلقب "العلامة".
واسمه الكامل هو : أبو جعفر محمد بن محمد بن الحسن نصير الدين الطوسي، ولد في مدينة طوس، قرب نيسابور (فارس) سنة 597هـ (1201م)، وتوفي في بغداد سنة 672هـ (1274م). ودرس على كمال الدين بن يونس الموصلي وعلى عبد المعين سالم بن بدران المعتزلي.
بدأ حياته العملية كفلكي للوالي نصير الدين عبد الرحمن بن أبي منصور في سرتخت. وبلغ الطوسي مكانة كبيرة في عصره، فقد كرمه الخلفاء وجالس الأمراء والوزراء، وهو ما أثار عليه حسد الحاسدين، فوشوا به وحكم عليه بالسجن في قلعة "ألموت"، مع السماح له بمتابعة أبحاثه، فكتب معظم مصنفاته العلمية في هذه القلعة.
ولما استولى هولاكو، ملك المغول، على بغداد (656هـ1258-م)، أراد أن يستفيد من علماء أعدائه العباسيين، فأطلق سراح الطوسي وقربه إليه وأسند إليه نظارة الوقف. ثم عينه على رأس مرصد مدينة مراغة (إيران) الذي تم إنشاؤه بطلب من الطوسي. وفي هذا المرصد، كان الطوسي يشرف على أعمال عدد كبير من الفلكيين الذين استدعاهم هولاكو من مختلف أنحاء العالم. ومنهم المؤيد العُرْضِي من دمشق، والفخر المراغى من الموصل، ونجم الدين القزويني، ومحيى الدين المغربي. وقد اشتهر هذا المرصد بآلاته وبمقدرته في الرصد. وبنى بالمرصد مكتبة عظيمة ملأها من الكتب التي نهبت من بغداد والشام والجزيرة. وقدر عدد الكتب بها بنحو أربعمائة ألف مجلد.
إسهاماته العلمية
كتب الطوسي في المثلثات، وفي الهيئة، والجبر، وإنشاء الأسطرلابات وكيفية استعمالها. ففي المثلثات كان الطوسي أول من جعلها مستقلة عن الفلك. كما ابتكر براهين جديدة لمسائل فلكية متنوعة. وهو أول من استعمل الحالات الست للمثلث الكروي القائم الزاوية. ويقول كارادي فو إن الطوسى قد بسط في كتابه "الشكل الرباعي" : علم المثلثات بأوضح أسلوب وأسهله، أولاً على طريقة منالاووس وبطليموس، ثم على طرق استنبطها هو مشيراً إلى نتائجها. وقاعدته التي سماها "قاعدة الأشكال المتتامة"، تخالف استعمال نظرية بطليموس في الأشكال الرباعية''.
وتساوي عبقرية نصير الدين الطوسي الهندسية عبقريته الفلكية. فقد برع الطوسي في معالجة المتوازيات الهندسية، وجرب أن يبرهنها، وبنى برهانه على فروض. وقد ذكر سارطون أن الطوسى برهن في "كتاب التذكرة" على عدد من المسائل الهندسية. ويمتاز الطوسى في بحوثه الهندسية بإحاطته الكلية بالمبادئ والقضايا الأساس التي تقوم عليها الهندسة، ولا سيما ما يتعلق بالمتوازيات.
وله في الفلك إسهامات وإضافات مهمة، فقد أوضح كثيراً من النظريات الفلكية، وانتقد كتاب "المجسطي"، واقترح نظاماً فلكياً أبسط من النظام الذي وضعه بطليموس، فمهد بذلك الطريق أمام الإصلاحات التي جاء بها كوبرنيك فيما بعد. وللطوسي أيضاً بحوث في الكرة السماوية ونظام الكواكب.
مؤلفاته
كتب نصير الدين في المثلثات، والفلك، والجبر، والهندسة، والحساب، والتقاويم، والطب، والجغرافية، والمنطق، والأخلاق، والموسيقي، وغيرها من المواضيع. كما ترجم بعض كتب اليونان وعلق على مواضيعها شارحاً ومنتقداً. ومن أشهر مؤلفاته :
ــ "كتاب شكل القطاع"، وهو أول مؤلف فرق بين حساب المثلثات وعلم الفلك. يقول عنه كارادي فو : "وهو مؤلف من الصنف الممتاز في علم المثلثات الكروية". ترجم إلى اللاتينية والفرنسية والإنجليزية، وظل الأوربيون يعتمدون عليه لعدة قرون.
ــ "التذكرة النصيرية"، وهو كتاب عام لعلم الفلك. أوضح فيه كثيراً من النظريات الفلكية، وفيه انتقد "كتاب المجسطي" لبطليموس. ويعترف "سارطون" بأن هذا الانتقاد يدل على عبقرية الطوسي وطول باعه في الفلك.
ــ "زيج الإيلخاني" يشتمل على حسابات أرصاده التي قام بها خلال اثنتي عشرة سنة ؛
ــ "كتاب قواعد الهندسة" ؛
ــ "كتاب في الجبر والمقابلة" ؛
ــ "كتاب ظاهرات الفلك" ؛
ــ "كتاب تحرير المناظر" في البصريات.
وقد كتب نصير الدين مصنفاته بالعربية والفارسية، وترجمت إلى اللاتينية وغيرها من اللغات الأوربية في العصور الوسطى، كما تم طبع العديد منها.
وخلاصة القول، فقد كان الطوسي من أعظم علماء الإسلام ومن أكبر رياضييهم، فقد أسهم بشكل كبير في تطوير العلوم ولا سيما الفلك والرياضيات، وظلت كتبه مراجع لعدة قرون، ونالت شهرة كبيرة بفضل ما قدم مؤلفها من إسهامات غنية.
